مسله های جالب ریاضی
12 سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید:الف)2
دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این
دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه
تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی
بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی
در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی
بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.ب)
2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت
تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از
دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را
بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید:ب-1) دو دسته برابرند
پس
سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام
دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا
سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3
سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی
است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است.ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود.ب-3) دو
دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا
شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده
اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از
دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل
می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه
انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است .ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است.ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است.
---------------------------------------------------------------------
اگه اعدادی که حاصل ضربشون میشه 36 رو بنویسین میشه این لیست:
1 1 36 -> که حاصل جمعشون میشه 38
1 2 18 -> 21
1 3 12 -> 16
1 4 9 -> 14
1 6 6 -> 13 *
2 2 9 -> 13 *
2 3 6 -> 11
3 3 4 -> 10
آمارگیر پلاک خونه همسایه رو میدیده ولی گفته با این اطلاعات نمیتونه حلش کنه. پس حتما ابهامی تو قضیه بوده و این ابهام تنها از دو سری 1 6 6 و 2 2 9 ناشی میشه که جمع هر دو 13 میشه. حالا از این که صابخونه گفته "پسر بزرگترم" میتونیم نتیجه بگیریم که از بین پسراش یه پسری باید سنش از همه بیشتر باشه و یعنی دوقلو نداشته باشه. پس جواب میشه 2 2 9. به جای حلوا شکری عقاب هم هر چیز دیگه ای میتونه باشه.
-------------------------------------------------------------------------------
-> جواب:جعبه ها را به ترتیب چیده و از 1 تا 100 شماره گذاری می كنیم،سپس از هر جعبه به تعداد شماره جعبه حبه هایی بر می داریم(مثلا از جعبه شماره 1 یك حبه،از جعبه 2 دو حبه و ...و از جعبه 100 صد حبه)بعد از آن كل حبه های انتخاب شده را وزن می كنیم و وزن آنرا m گرم فرض می كنیم.اگرmرا از 5050a كم كنیم شماره جعبه شامل حبه های سبكتر به دست می آید.
-------------------------------------------------------------------------------
جواب -> از یکی از انها، فرق ندارد کدام، میپرسه:
اگر از ان نگهبان دیگری بپرسم که آیا او سر راه آزادی ایستاده اون چه میگوید؟
این نگهبان هر چی گفت بر عکسش راه نجات خواهد بود...
اگر گفت آره، برعکسش ، یعنی ان راه نجات نیست و همینی که این ایستاده درست است...
اگر گفت نه، بازم برعکسش ، یعنی آری ان راه نجات است و اینی که ما ازش پرسیدیم راه نابودی...
این معمّای زیبا از اصل ریاضیات جدید (قوانین گزاره ها) حل میشه. برای این مساله :
p) = p~) ~ ، که یعنی نقیض نقیض هر گزاره هم ارز است با خود گزاره...
بدهی
------------------------------------------------------------------------------
جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....
B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....
C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....
D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....
در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می باشد، میتواند اعلام کند!
------------------------------------------------------------------------------
جواب میشه ۳۰۱
منطقش اینه كه باید كوچكترین عددی رو پیدا كنیم كه باقیمانده‌اش وقتی تقسیم به اعداد ۲ تا ۶ میشود باید یك باشه و این عدد مضربی از هفت باشه از روش دیگر اگر بخواهیم بررسی كنیم می بینیم كه a-1بر ۲و۳و۴و۵و۶ بخشپذیر است و از طرف دیگر aبر ۷ بخشپذیر می باشد.ك.م.م اعداد ۲و۳و۴و۵و۶ عدد ۶۰ می باشد اما ۶۰ نمی تواندa-1 باشد زیرا ۶۱ بر۷ بخشپذیر نیست.60*2را بجای a-1 در نظر می گیریم مطلوب نیست ۳*۶۰ را در نظر می گیریم بازهم نمی شود.۴*۶۰ نیز همینطور زیرا ۲۴۱ بر۷ بخشپذیر نیست.اما ۶۰*۵ درست است زیرا عدد ۳۰۱ بر ۷ بخشپذیر است.بنابراین كوچكترین عدد با شرایط مساله ۳۰۱ می باشد كه صابر با برنامه اش به آن رسید.
------------------------------------------------------------------------------
جواب - فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد دیگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو میکشه و بقیه میفهمن که خودشون خالدار نبودن. این از یکی.
حالا برای دو نفر همین استدلال رو تکرار کنین. فرض کنین دو نفر تو قبیله خال دارن. اونی که خالداره میبینه یه نفر تو قبیله خال داره ولی نمیدونه خودش هم خال داره یا نه. با خودش میگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم باید منتظر بمونه. اون فرد دیگه هم همین جور استدلال میکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نمیکنن و منتظر میمونن. در نتیجه میفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو میکشن. اما اونایی که خال ندارن میبینن دو نفر تو قبیله خال دارن. اونا دو روز صبر میکنن تا سرنوشت این دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو میکشن میفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر میکنن و بقیه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو میکشن و از اینجا بقیه میفهمن که خودشون خال ندارن. یعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبیله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده
------------------------------------------------------------------------------
اگه یه خانواده ای پسر داشته باشن چقدر احتمال داره فرزند دیگه شون دختر باشه؟
این مساله اگه نتونین خوب استدلال کنین به یه پارادوکس شبیه میشه. از یه طرف میتونین بگین احتمال پسر و دختر شدن ۵۰ درصده در نتیجه پسر بودن یه فرزند ربطی به جنسیت فرزند دیگه نداره و این دو پیشامد کاملا مستقلند و نتیجه بگیرین که جواب میشه ۵۰ درصد.
از طرف دیگه میتونین برای دو فرزند چهار حالت رو متصور بشین (پسر-پسر)، (پسر-دختر)، (دختر-پسر) و (دختر-دختر) حالتی که یکی از فرزندان پسر باشه و یکی دختر میشه دو حالت از چهار حالت در نتیجه با این استدلال، جواب میشه ۵۰ درصد.
اما هر دو اینها غلطه. شما در اینجا به یه احتمال شرطی روبرو هستین. احتمال دختر بودن یکی از فرزندان به شرط اینکه فرزند دیگه پسر باشه. از چهار حالتی که در بالا گفته شد حالت (دختر-دختر) حذف میشه چون با شرط پسر بودن یک فرزند جور در نمیاد. میمونه ۳ حالت و از این سه حالت دو تاش حالت مورد نظر ماست. در نتیجه احتمال دختر بودن فرزند دیگه میشه دو سوم.